数学オリンピックの問題に挑戦しよう

国際数学オリンピック(IMO)は 1959 にルーマニアで第 1 回が行われ、以後ほとんど毎年 7 月に行われています。ここで出題されるのは各国の出題委員が作問した問題の中から選ばれた世界の中高生の最高レベルの問題です。日本では数学オリンピック財団が日本数学オリンピックと日本ジュニア数学オリンピックの予選を 1 月に、本選を 2 月に行っています。初めて数学オリンピックの問題に挑戦する人は、日本ジュニア数学オリンピックの予選問題の過去問題を解いてみることから始めるとよいでしょう。

数学オリンピックの問題は学校での試験や入学試験のように、教えられたことをどれだけ覚えているかを試す記憶力のテストではなく、未知の問題の答えを自分で考えて見つけ出す問題解決力のテストです。

問題は整数・代数、幾何、組合せの 3 分野から出題されます。この中で整数の問題ではフェルマーの小定理などの基本となる定理を学び、合同式の扱いに慣れておく必要があります。また、最近の日本の学校教科書では幾何に関してきちんとした証明や基礎的な定理が削減されていく傾向があるので、足りない知識を自分で補っておくことが必要です。組合せは離散数学ともいい、戦後発展した新しい分野です。この分野は有限集合に関する数学といってよいでしょう。この中には数え上げ公式、漸化式、確率、グラフ理論、組合せ幾何学、組合せゲーム、アルゴリズムが含まれます。いずれも難しくはありませんが、日本の中高の授業ではほとんど扱われることがないので、自分で勉強しておく必要があります。以上が数学オリンピックの出題範囲です。なお、日本の大学受験で必須の微積分はここでは出題されません。

さて、数学オリンピックに向けた勉強法ですが、学校の試験の勉強のように教科書に載っている例題の解答を読んで覚えるという勉強法ではまったく太刀打ちできません。過去問題集がたくさん出版されていますが、まず問題を読んで解答を見ないで(！)考えましょう。問題を解くのに必要な決定的な知識が欠けていることもあるので、それらについては授業で先生に解説してもらいます。そしてまたしばらく考えましょう。それでも解けなかったら解答を見るのもいいですが、授業では先生が適切なヒントを出しますので、そこでまたねばって考えましょう。ひとりで勉強しているときは、どうしても解けない問題については解答をみてもいいですが、何回かに 1 回は解けるまで 1 週間ぐらいは考え続けるということもやってみてください。そのように焦らずに解けなかった問題に再挑戦し続けることは回り道のように見えるかもしれませんが、楽しみながら一歩一歩考え続けることで、問題解決能力は格段に進歩します。

このクラスでは先生に新しい知識を教わるだけでなく、友だちと議論することもとても大切にしています。教室では先生もその議論に加わりますので、どのような方針で攻略しようとし、どこで挫折したかなどの情報をシェアし、互いに難問に立ち向かうモチベーションを鼓舞し、みんなでわいわいがやがやといっしょに探求する楽しさを味わいましょう。

予選問題は答えの数値だけを書く形式なので、完全に解かなくても正解を推測してあっていれば得点になります。とはいえ、予選問題の準備段階から完全な証明を書く練習をすることをお勧めします。自分で書いた証明であれば、他人から間違いを指摘されたときにどこが間違っているかが簡単に理解できます。数学オリンピックで出題される問題には必要条件だけを追って行けば答えが推測できるものも珍しくありません。そうした問題であっても、得られた答えが問題に対して十分条件も満たしていることを証明しなければ正しい解答とはならず、本選では部分点しかもらえません。数学オリンピックの問題への挑戦をきちんとした証明の書き方を学ぶ機会ととらえて、過不足のない日本語で証明を書く訓練をしてください。そうして鍛えられる論証力は将来どの分野に進んでも大きな力となります。

次回にやる問題を宿題として予め配布します。また、難問に対しては指導者から解答の方針などのヒントが与えられることがあります。

数学オリンピックの問題に挑戦しようクラスの詳細

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